TEORÍA DE CONJUNTO

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS

El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; 

Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría 

de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918). 

Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con 

características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. 

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: 

•  La colección de elementos debe estar bien definida. 
•  Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos 

deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. 

•  El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia. 

NOTACIÓN 

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con letras 

minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el 

lanzamiento de un dado. 

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos 

finitos e infinitos. 

FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su 

longitud o cantidad. 

El conjunto de días de la semana 

INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. 

El conjunto de los números reales 

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de 

expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo: 

EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos. 

A = {a, e, i, o, u} 

COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos. 

A = {x | x es una vocal} 

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es 

elemento de, con el símbolo ∈, en caso contrario ∉. 

A = {1, 2, 3} 

2 ∈ A; 5 ∉ A 

TIPOS DE CONJUNTOS 

CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o { }. 

 

A = {x2

 + 1 = 0 | x ∈ R} 

 

El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2

+1 = 0 

 

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población 

o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω. 

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

IGUALDAD DE CONJUNTOS 

Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si 

cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B 

pertenece también a A. 

 

A = B 

SUBCONJUNTO 

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es 

un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂. 

 

A ⊂ B o B ⊃ A 

SUBCONJUNTOS PROPIOS 

Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran 

incluidos en él A, denotado por ⊆. 

 

A ⊆ B o B ⊇ A  

CONJUNTO POTENCIA 

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es 

finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n

 subconjuntos. 

 

A = {1, 2 } 

 

 El total de subconjuntos es: 

2

2

 = 4 

 

{1,2}, {1}, {2}, { } 

 

CONJUNTOS DISJUNTOS 

Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que 

pertenezcan a ambos. 

F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

 

G = {a, b, c, d, e, f} 

 

 

PARTICIÓN 

Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le 

denomina partición.

OPERACIONES DE CONJUNTOS 

 

•  Unión. 
•  Intersección. 
•  Diferencia. 
•  Complemento. 
•  Producto cartesiano. 

 

UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La 

unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o 

pertenecen a B. 

 

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B} 

 

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto 

universal. La intersección de A y B, expresada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que 

pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir: 

 

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B} 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos 

cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es 

el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. 

 

A - B = {x | x ∈ A, x ∉ B} 

 

Nota: A - B ≠ B - A 

 

COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO. Sea A un subconjunto 

cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que 

perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o A

c

. 

 

A’ = {x | x ∈ U, x ∉ A} 

 

Nota: A’ = U - A 

 

PRODUCTO CARTESIANO. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto 

cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. 

 

A x B = {(a, b) | a ∈A y b ∈ B} 

LEYES DE CONJUNTOS 

DE IDEMPOTENCIA 

A ∪ A = A A ∩ A = A 

 

ASOCIATIVA 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) 

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 

 

CONMUTATIVA 

A ∪B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 

 

DISTRIBUTIVA 

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 

DE IDENTIDAD 

A ∪ U = U A ∩ U = A 

A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ 

 

DE INVOLUCIÓN 

(A’)’ = A 

DE COMPLEMENTO 

 A ∪ A’ = U A ∩ A’ = ∅ 

 U’= ∅ ∅’= U 

 

D’MORGAN 

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’= A’ ∪ B’ 

 

PRINCIPIO DE CONTEO 

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) A ∩ B = ∅ 

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) A ∩ B ≠ ∅