DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas;
Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría
de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con
características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
- La colección de elementos debe estar bien definida.
- Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos
deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
- El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
NOTACIÓN
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con letras
minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el
lanzamiento de un dado.
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos
finitos e infinitos.
FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su
longitud o cantidad.
El conjunto de días de la semana
INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.
El conjunto de los números reales
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de
expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A = {a, e, i, o, u}
COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = {x | x es una vocal}
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es
elemento de, con el símbolo ∈, en caso contrario ∉.
A = {1, 2, 3}
2 ∈ A; 5 ∉ A
TIPOS DE CONJUNTOS
CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o { }.
A = {x2
+ 1 = 0 | x ∈ R}
El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2
+1 = 0
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población
o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si
cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B
pertenece también a A.
A = B
SUBCONJUNTO
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es
un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂.
A ⊂ B o B ⊃ A
SUBCONJUNTOS PROPIOS
Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran
incluidos en él A, denotado por ⊆.
A ⊆ B o B ⊇ A
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es
finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n
subconjuntos.
A = {1, 2 }
El total de subconjuntos es:
2
2
= 4
{1,2}, {1}, {2}, { }
CONJUNTOS DISJUNTOS
Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que
pertenezcan a ambos.
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
G = {a, b, c, d, e, f}
PARTICIÓN
Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le
denomina partición.
OPERACIONES DE CONJUNTOS
- Unión.
- Intersección.
- Diferencia.
- Complemento.
- Producto cartesiano.
UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La
unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o
pertenecen a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto
universal. La intersección de A y B, expresada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir:
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos
cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es
el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.
A - B = {x | x ∈ A, x ∉ B}
Nota: A - B ≠ B - A
COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO. Sea A un subconjunto
cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que
perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o A
c
.
A’ = {x | x ∈ U, x ∉ A}
Nota: A’ = U - A
PRODUCTO CARTESIANO. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto
cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.
A x B = {(a, b) | a ∈A y b ∈ B}
LEYES DE CONJUNTOS
DE IDEMPOTENCIA
A ∪ A = A A ∩ A = A
ASOCIATIVA
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
CONMUTATIVA
A ∪B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
DISTRIBUTIVA
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
DE IDENTIDAD
A ∪ U = U A ∩ U = A
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅
DE INVOLUCIÓN
(A’)’ = A
DE COMPLEMENTO
A ∪ A’ = U A ∩ A’ = ∅
U’= ∅ ∅’= U
D’MORGAN
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’= A’ ∪ B’
PRINCIPIO DE CONTEO
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) A ∩ B = ∅
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) A ∩ B ≠ ∅
