ESTADISTICA: octubre 2013

Promedios y medidas de tendencia central.

Un promedio es varlor tipico o representativo se un conjunto de datos. Se pueden definir varios tipos de promedios: los mas usados son: la media aritmetica,la mediana, la moda, la media geometica y la media armonica.

MediaAritmetica.

La media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.
También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

Dados los n números $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ , la media aritmética se define como:

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

$\bar{x} = \frac{ 8 + 5 + \left ( -1 \right ) }{3} = 4$

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ( $\overline{X}$ ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.
En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado.

Propiedades.

La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).
La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética.
Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.
Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.
La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:

$\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \le \frac{x_1+ \dots + x_n}{n}$

La media no es un dato confiable cuando hay datos extremos que toman valores muy altos o muy bajos ¹
La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos:

$\min \{x_1, x_2, \dots x_n\} \le \frac{x_1+ \dots + x_n}{n} \le \max \{x_1, x_2, \dots x_n\}$

En otros términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética.
Por ejemplo, es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167

Mediana.

La mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su cálculo no se ve afectado por valores extremos.

Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar)

Encontrar la mediana para los siguientes datos:

4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3

SOLUCIÓN

PASO 1: Ordenar los datos.

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.

Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos par)

Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato. Encontrar la mediana:

4 1 2 3 4 2 2 1 5 5

SOLUCIÓN

PASO 1: Ordenar los datos.

1 1 2 2 2 3 4 4 5 5

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

1 1 2 2 2 3 4 4 5 5

El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.

Moda.

La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

$\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1} }{n_i-n_{i+1} }$

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

$\gamma n_{i-1} \gamma n_{i+1}$

Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:
$M = L_{i} + \left( \frac{D_1}{D_1+D_2} \right)C$
Donde:
$L_{i}$ = $L$ _{-inferior de la clase modal}.
$D_1$ = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.
$D_2$ = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.
$Ai$ = Amplitud del intervalo modal

Situación A

Hay tres equipos de basketball y cada uno ha jugado cinco partidos. Usted tiene los resultados de cada equipo de los partidos jugados.

	Partido 1	Partido 2	Partido 3	Partido 4	Partido 5
Jaguares	67	87	54	99	78
Lobos	85	90	44	80	46
Leones	32	101	65	88	55

1. Supongamos que usted quiere unirse a uno de los tres equipos de basketball, y que quiere hacerlo al que le está yendo mejor hasta el momento. Si usted ordena a los equipos por sus puntajes promedio, ¿a qué equipo se uniría?

2. Si en vez de usar los puntajes promedio, usted usa la mediana de cada equipo para tomar su decisión: ¿A qué equipo se uniría?

3. Supongamos que usted es el entrenador del equipo de los Leones y que el periódico local lo está entrevistando sobre su equipo. ¿Será mejor que usted reporte el puntaje promedio o la mediana?

Situación B

Usted y sus amigos están comparando el número de veces que fueron al cine el año pasado. La siguiente tabla muestra el número de veces, por mes, que cada uno de ustedes fue al cine.

	Ene.	Feb.	Mar.	Abr.	Mayo	Junio	Julio	Agos.	Sept.	Oct.	Nov.	Dic.
John	1	3	2	5	2	3	1	4	2	3	2	1
María	1	2	1	1	1	3	3	2	2	4	1	2
Brian	1	3	2	2	1	4	5	3	2	2	1	3
Kelly	2	2	1	1	3	2	4	1	3	2	3	2

1. Comparando las modas, ¿qué persona fue menos al cine por mes?

2. Al comparar las medianas, ¿qué persona fue más al cine por mes?

3. Ordene a sus amigos, en orden de mayor a menor, número de películas vistas, comparando sus promedios.

4. ¿Qué mes, comparando los promedios de las películas vistas en cada mes, es el más popular para ir al cine?

5. Comparando las medianas, ¿cuál es el mes menos popular para ir al cine?

6. ¿Cuál es el promedio de las medianas para cada mes (el promedio aritmético de las medianas del número de películas vistas en cada mes)?

Respuestas

Situación A:

Respuesta 1: Jaguares (El puntaje promedio es 77)

Respuesta 2: Lobos (La mediana del puntaje es 80)

Respuesta 3: El puntaje promedio (El puntaje promedio es de 68.2 y la mediana es 65)

Situación B:

Respuesta 1: María (Su moda es 1)

Respuesta 2: Todos fueron el mismo número de veces (Las medianas son todas 2)

Respuesta 3: 1. John y Brian (Su promedio es 2.4167), 2. Kelly (Su promedio es 2.167), 3. María (Su promedio es 1.9167)

Respuesta 4: Julio (El promedio de Julio es 3.25)

Respuesta 5: Enero (La mediana de Enero es 1)

Respuesta 6: 2.0833

Datos en Bruto,

Los datos en bruto son los datos recolectados que aun no se han organizado. Por ejemplo, la estatura de 100 estudiantes tomados de la lista alfabetica de una universidad.

Ordenaciones.

Ordenacion se le llama a los datos numericos en bruto dispuestos en orden creciente o decreciente de magnitus, A la diferencia entre el numero mayor y el numero menor se le conoce como el rango de los datos. Por ejemplo, si la estatura mayor en los 100 estudiantes es 74 pulgadas (in) y la menor es 60 (in), el rango es 74-60= 14 pulgadas.

Distibuciones de Frecuencia.

Se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Estas agrupaciones de datos suelen estar agrupadas en forma de tablas.

Una distribución de frecuencia es un formato tabular en la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que describen una característica de los [datos] y muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.

La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En principio, en la tabla de frecuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número de veces que aparece, es decir, su Frecuencia. Se puede complementar la frecuencia absoluta con la denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por pudin otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.

La tabla de frecuencias puede representar gráficamente en un histograma(Diagrama De Barras). Normalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores.

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Intervalos de Clase.

Al simbolo que representa una clase, como 60-62, se le conoce como intervalo de clase. A los numeros de los extremos , 60 y 62, se le conoce como Limites de clase; el numero menor (60) es el limite inferior de clase y el numero mayor (62) es el limite superior de clase. Los terminos clase e intervalo de clase se suelen usar indistintamente, aunque el intervalo de clase en realidad es un simbolo para la clase.
Un intervalo de clase que, por lo menos teoricamente, no tenga indicado el limite de clase superior o el limite de clase inferior, se le conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo al considerar grupos de edades de personas, un intervalo que sea "65 años o mayores"es un intervalo de clase abierto.

Fronteras de Clase.

Es otro nombre que se le da a los límites menor y mayor de cada intervalo; el límite menor se incluye como parte del intervalo, pero el mayor no forma parte de él porque se determina que son los menore que el límite superior o mayor.

EJEMPLO

En el ejemplo anterior, la distribución de frecuencias está formada por 8 intervalos que empiezan en US$14.00 y terminan en US$70.00 y se calcularán las fronteras reales de la siguiente manera:

ESTADISTICA

martes, 1 de octubre de 2013

REPRESENTACIÓN TABULAR

Media, Mediana, Moda, Y otras medidas de tendencia Central.